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【原创】柯西函数方程的解
若f(x)是单调(或连续)函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y)  (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)
证明:由题设不难得
 f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
取x1=x2=…=xn=x,得f(nx)=nf(x) (n∈N+)
令x=0,则f(0)=nf(0),解得f(0)=0  --------- (1)
   x=1,则f(n)=nf(1)
   x= ,则f(m)=nf( ) ,解得f( )= f(m)=  f(1)  --------- (2)
   x=- ,且令y=-x>0,则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0
   ∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1)  (m,n∈N+,且(m,n)=1)  ---------(3)
由上述(1),(2),(3)知:对任意有理数x均有f(x)=xf(1)
另一方面,对于任意的无理数x,因f(x)连续,取以x为极限的有理数序列{xn},则有 :f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)
综上所述,对于任意实数x,有
f(x)=xf(1)
作者:邬老师(818638)05-12-10 14:28回复此贴
1楼
这是柯西法解函数方程的两个特例,除了连续和单调还有一些限制也可解函数方程
作者:218.12.170.*06-05-15 12:39回复此贴
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